Логика этого весьма остроумного метода заключается в том, что если в задаче есть какой-то неизвестный параметр, то от его значения скорей всего ничего не зависит. А это даёт нам право рассмотреть любое удобное значение.
Пример 1. Петя и Вася бегут по эскалатору по ходу движения. Кто из них насчитает больше ступенек, если Петя бежит быстрей?
В этой задаче интересно поиграть со скоростями мальчиков. Если мы представим, что Вася бежит со скоростью ноль, то он насчитает всего одну ступеньку (на которой стоит). Петя идёт быстрей, поэтому ступенек он, очевидно, насчитает больше. Если же и скорость Пети устремить к крайнему значению, т.е. к бесконечности, тогда он пересчитает все ступеньки прежде, чем они сдвинутся, что ещё усиливает эффект.
Надо понимать, что когда мы рассматриваем какой-то единичный случай, это не обязательно гарантирует верное или исчерпывающее решение. Если же мы рассматриваем несколько крайних случаев, и ответ совпадает, вероятность того, что ответ верный возрастает.
Пример 2. Из стакана с кофе перелили ложку кофе в такой же стакан с молоком. Тщательно перемешали, после чего перелили ложку получившейся смеси обратно. Чего больше, кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?
В этой задаче ничего не сказано о размере ложки. Скорей всего от соотношения ложки и стакана ответ не зависит. Рассмотрим два крайних случая:
1. Ложка объёмом ноль. Тогда мы ничего не перелили в молоко, перемешали, и ничего не перелили обратно. Очевидно, что кофе в молоке и молока в кофе одинаковое количество (ноль).
2. Ложка объёмом со стакан. Мы переливаем весь стакан, перемешиваем, получаем двойной стакан смеси, в которой кофе и молока поровну, после чего переливаем один стакан жидкости обратно, и получаем всё тот же ответ.
Здесь наше решение убедительней, т.к. мы рассмотрели очень маленькую и очень большую ложку, получили одинаковый ответ, и вполне закономерно предположить, что во всех промежуточных значениях ответ останется тем же.
Обратите внимание, что в этой задаче наибольшим адекватным значением является не бесконечность, а стакан.
Пример 3. Саша и Петя одновременно прыгнули с мостика в речку и поплыли. Саша поплыл по течению, а Петя – против течения. Через некоторое время мальчики одновременно поплыли обратно к мостику. Кто из них приплывет первым, если собственные скорости мальчиков не менялись?
Здесь интересно рассмотреть случай, когда скорость мальчиков в стоячей воде равна скорости течения. Тогда Петя первую часть заплыва будет просто барахтаться под мостом, а когда развернётся, сразу закончит движение. Вася же в первой части куда-то уплывёт, потом развернётся и будет бороться с течением вечно, т.е. не приплывёт никогда.
Хорошим решением (решение — способ получения ответа) всё это не является, но даёт возможность быстро понять правильный ответ, да и первое понимание происходящего, что может существенно помочь в формулировании более логичного и последовательного решения.
(c) Максим Дмитриев matolimp.ru
Вступайте в группу ВКонтакте http://vk.com/matolimp
Добавляйтесь в друзья в Facebook: https://www.facebook.com/matolimp
Читайте МатОлимп в ЖЖ: http://math-olimp.livejournal.com
Приходите на занятия!